タルタリアの三角形2

「タルタリアの三角形」の2回目、今回は項の増やし方を変更します。

三角形の角度が変わり、こんな感じになります。

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証明は前回と大体同じ感じ。
項数の増分(上の図では2)をsとして、以下の様に定義します。

    L0 = N + N+1 + ... + N+a               R0 = N+a+1 + ... + N+a+b
    L1 = N+a+b+1 + ... + N+2a+b+s   R0 = N+2a+b+s+1 + ... + N+2a+2b+2s

 

Ln, Rnの項数をPLn, PRnとすると、

    PLn = a + sn
    PRn = b + sn

一番右の項をRRn、一番左の項をLLn、項を縦に見た時の差をDnとすると、n'=n-1として

    RRn = RRn' + a+b+2sn

    LLn = RRn'+1 = RRn - s - Dn' + 1
           = RRn - (a+b+2sn)-1

    Dn = RRn - RRn' - s
         = a + b + 2s(n+1) - s

 

前回と同様に、Rn-Lnを計算します。

    Rn = Rn' + PRn * Dn' + sRRn - s(s-1)/2
    Ln = Ln' + PLn * Dn' + sLLn + s(s-1)/2

    Rn - Ln = Rn' - Ln'
                   + ( b-a )Dn'
                   + RRn*s - RRn*s + s^2 + sDn' - s
                   - s(s-1)

                = Rn' - Ln' + (b-a+s)Dn'

 

やはりというか、前回と同じような結果が出ました。

項数の増分がsの三角形が成立するのは、左項数=右項数+s の場合となります。

実際に作ってみるとこんな感じ

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なんというか、前回と変わんなくて思ったよりつまんないでした。

 

 ところで

左右で項数の増分を変えてみると、Dnの係数にnが現れ、Rn-Ln がnの2次式になります。縦一列を飛ばすだけでは成立しなくなり、一段下がるごとに飛ばす項数を増やしたりする必要がでてきます。

以下はどっちも同じですが、こんな感じ。

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